平面トラスの有限要素解析②【全体剛性行列、変形、応力の算出】

プログラミング MATLAB 有限要素法 プログラミング

こんにちは、トライです。

今回は前回の記事で示したFEMのフロー

  1. 各部材の要素座標系における要素剛性行列を算出する
  2. 各部材の全体座標系における要素剛性行列を算出する【座標変換】
  3. 架構の全体剛性行列を算出する【アセンブル】
  4. 剛性方程式を解き、荷重に対する変形を算出する
  5. 変形から各部材の応力(軸力)を求める

この中の「3. 架構の全体剛性行列を算出する【アセンブル】」以降について解説します。

前回までに求めた各部材の要素剛性行列を結合(アセンブル)し、架構の全体剛性行列を作成する方法と、剛性方程式を解いて部材の変形と応力を求めるまでを解説します。

ぜひ最後までお読み下さい。

架構の全体剛性行列を算出する【アセンブル】

プログラミング MATLAB 有限要素法

前回に引き続き、このようなトラス架構を例に、全体剛性行列の作成方法を解説します。

  • 節点1と節点2から成る部材①
  • 節点2と節点3から成る部材②
  • 節点1と節点3から成る部材③

それぞれの剛性方程式は以下のようになります。

プログラミング MATLAB 有限要素法

部材①と部材②は節点2を共有しているので、部材①と部材②の要素剛性行列を結合(アセンブル)すると、剛性方程式は以下のようになります。

プログラミング MATLAB 有限要素法

これに更に部材③をアセンブルすると、例に挙げたトラス架構の全体剛性行列と剛性方程式は以下のようになります。

プログラミング MATLAB 有限要素法

これで例題の剛性方程式は完成です。

剛性方程式を解き、荷重に対する変形を算出する

次に、先ほど求めた剛性方程式から、各節点の変位を求めます。

今回の例の場合、節点1はピン支持より、X方向、Y方向共に変位が拘束されています。

よって、u1X = 0, u1Y = 0 となります。

節点2はローラー支持より、Y方向のみ変位が拘束されています。

よって、u2Y = 0 となります。

これを先ほどの剛性方程式に代入すると以下のようになります。

プログラミング MATLAB 有限要素法

この中から変位が0の行とそれに対応する剛性行列の行と列を除くと、以下のようになります。

プログラミング MATLAB 有限要素法

この剛性方程式の両辺に左から剛性行列の逆行列を掛けると変位が求まります。

プログラミング MATLAB 有限要素法

具体的にどのような数値になるかは次回の記事で実際にMATLABのコードを用いて解説します。

変形から各部材の応力(軸力)を求める

架構の変形量が求まったら最後に部材の応力(軸力)を求めてFEMは完了です。

プログラミング MATLAB 有限要素法
プログラミング MATLAB 有限要素法
プログラミング MATLAB 有限要素法

まとめ:FEMのフローは剛性→変形→応力の順

今回は全体剛性行列から変形、応力(軸力)の算出までを簡潔に一気に解説しました。

FEMの基本のフローを再確認しておくと

  1. 架構の剛性を求める
  2. 荷重(外力)に対する変形を求める
  3. 変形から応力を求める

これだけです。それほど難しくはないですよね。

もっと根本的な理論からみっちり勉強したいという人にはこの本がオススメです。

次回は今まで解説してきた例題を実際にMATLABを用いてコードを書いてみます。

プログラミングやFEMの勉強を始めたばかりの人のとっかかりとなる記事になると思いますのでご期待ください。

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